Question

（2005•閘北區(qū)一模）現(xiàn)定義復(fù)函數(shù)如下：在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量z與w，如果對(duì)于z的某個(gè)范圍D內(nèi)的每一個(gè)確定的復(fù)數(shù)，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，w都有唯一確定的復(fù)數(shù)與它對(duì)應(yīng)，那么，我們就稱(chēng)w是z的復(fù)函數(shù)，記作w=f（z）．設(shè)復(fù)函數(shù)f(z)=

. z

z2+1

，
（Ⅰ）求f（1+i）的值； 
（Ⅱ）若f（z）=1，求z的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)所給的函數(shù)的解析式和自變量的值，把自變量的值代入寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的解析式，進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，整理出最簡(jiǎn)形式．
（II）設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，代入所給的解析式，使得函數(shù)值等于1，得到關(guān)于a，b的方程組，解方程組即可得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)所給的解析式和自變量的值，得到
f（1+i）=

. 1+i

(1+i)2+1

=

1-i

1+2i

=

(1-i)(1-2i)

5

=-

1

5

-

3

5

i．
（Ⅱ）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），
f（z）=1⇒a-bi=(a+bi)2+1⇒

a=a2-b2+1 -b=2ab

⇒

a=- 1 2 b=± 7 2

，
∴z=-

1

2

±

7

2

i．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充要條件，本題解題的關(guān)鍵是讀懂題意，本題是一個(gè)新定義問(wèn)題，需要理解題意再進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算．