Question

過橢圓E：

x2

2

+y²=1右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，直線y=x+n與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，與線段AB相交于點(diǎn)P（與點(diǎn)A和B不重合）．
（Ⅰ）若AB平分CD，求CD所在直線方程．
（Ⅱ）四邊形ABCD的面積是否有最大值，如果有，求出其最大面積，如果沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由題意知直線AB的方程為x=1，P（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），由P在直線AB上，知x₁+x₂=2，聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=x+n

，得3x²+4nx+2n²-2=0，由此能求出CD所在的直線方程．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出A（1，-

2

2

），B（1，

2

2

），P（1，1+n），-1-

2

2

＜n＜-1+

2

2

，四邊形ACBD的面積S=

2

3

3-n2

，(-1-

2

2

＜n＜-1+

2

2

)，由函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出四邊形ABCD的面積S沒有最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由題意知直線AB的方程為x=1，
∵AB平分CD，∴P為CD的中點(diǎn)，∴P（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
∵P在直線AB上，∴x₁+x₂=2，
聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=x+n

，得3x²+4nx+2n²-2=0，
∴x1+x2=-

4n

3

=2，解得n=-

3

2

，
∴CD所在的直線方程為y=x-

3

2

．
（Ⅱ）如圖，∵橢圓E：

x2

2

+y²=1右焦點(diǎn)
且垂直于x軸的直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，
直線y=x+n與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，
與線段AB相交于點(diǎn)P，
∴A（1，-

2

2

），B（1，

2

2

），P（1，1+n），
∵P在AB上，∴-

2

2

＜1+n＜

2

2

，
解得-1-

2

2

＜n＜-1+

2

2

，
四邊形ACBD的面積S=

1

2

•|AB|•|x₂-x₁|=

2

2

(x1+x2)2-4x1x2

，
由（Ⅰ）知x1+x2=-

4n

3

，x1x2=

2n2-2

3

，
代入上式，整理得S=

2

3

3-n2

，(-1-

2

2

＜n＜-1+

2

2

)，
∵在區(qū)間（-1-

2

2

，-1+

2

2

）上，S關(guān)于n單調(diào)遞增，
∴四邊形ABCD的面積S沒有最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，考查四邊形面積是否有最大值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的單調(diào)性的合理運(yùn)用．