Question

已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，S_n為其前n項(xiàng)和，且滿足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an•an+1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）求證：

1

3

≤T_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）在遞推式中分別取n=1，2聯(lián)立方程組求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）把（1）中求得的通項(xiàng)代入b_n=

1

an•an+1

，然后利用裂項(xiàng)相消法求和，則由T_n的單調(diào)性及放縮法可證不等式．

解答： 解：（1）由a_n²=S_2n-1，
取n=1得，a12=S1=a1，
∵數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均不為0，
∴a₁=1，
取n=2得，a22=S3，
即（1+d）²=3+3d，解得：d₁=-1（舍），d₂=2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）把a(bǔ)_n=2n-1代入b_n=

1

an•an+1

，得：
bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．
又bn=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)＞0，且b1=

1

2

(1-

1

3

)=

1

3

．
∴Tn≥

1

3

．
∴

1

3

≤T_n＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．