Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（1-x）≤2；
（Ⅱ）若a＜0，求證：f（ax）-af（x）≥f（a）．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）依題意，f（x-1）+f（1-x）≤2?|x-2|+|x|≤2，通過對(duì)x范圍的討論，去掉式中的絕對(duì)值符號(hào)，解得每個(gè)不等式的解，最后取其并集即可；
（Ⅱ）f（ax）-af（x）=|ax-1|-a|x-1|，a＜0時(shí)，|利用絕對(duì)值不等式|ax-1|-a|x-1|=|ax-1|+|-ax+a|≥|ax-1-ax+a|=|a-1|=f（a）即可證得結(jié)論．

解答： 選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）∵f（x-1）+f（1-x）=|x-2|+|x|．
因此只須解不等式|x-2|+|x|≤2．
當(dāng)x≤0時(shí)，原不式等價(jià)于2-x-x≤2，即x=0．
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，原不式等價(jià)于2≤2，即0＜x＜2．
當(dāng)x≥2時(shí)，原不式等價(jià)于x-2+x≤2，即x=2．
綜上，原不等式的解集為{x|0≤x≤2}．…（5分）
（Ⅱ）∵f（ax）-af（x）=|ax-1|-a|x-1|，
又a＜0時(shí)，|ax-1|-a|x-1|=|ax-1|+|-ax+a|≥|ax-1-ax+a|=|a-1|=f（a），
∴a＜0時(shí)，f（ax）-af（x）≥f（a）．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．