Question

己知直線l：

x=1+ 1 2 t y= 3 2 t

．曲線C1：

x=cosθ y=sinθ

，（θ為參數(shù)）．
（I）設(shè)l與C₁相交于A，B兩點，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲線C₁上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的

1

2

倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的

3

2

倍，得到曲線C₂，設(shè)點P是曲線C₂上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）把參數(shù)方程化為普通方程，聯(lián)立方程組求得點A、B的坐標(biāo)，可得|AB|的值．
（Ⅱ）由題意求得曲線C₂的參數(shù)方程，設(shè)點P（

1

2

cosθ，

3

2

sinθ），求得點P到直線l的距離d=

3

4

[

2

sin（θ-

π

4

）+2]，再根據(jù)正弦函數(shù)的值域，求得d的最小值．

解答： 解：（I）直線l：

x=1+ 1 2 t y= 3 2 t

 的普通方程為y=

3

（x-1）；
曲線C1：

x=cosθ y=sinθ

，（θ為參數(shù)）的直角坐標(biāo)方程為 x²+y²=1．
由

y= 3 (x-1) x2+y2=1

，求得

x=1 y=0

，或

x= 1 2 y=- 3 2

，∴A（1，0）、B（

1

2

，-

3

2

）．
∴AB=

(1- 1 2 )2+(0+ 3 2 )2

=1．
（Ⅱ）由題意可得曲線C₂的參數(shù)方程為

x= 1 2 cosθ y= 3 2 sinθ

（θ為參數(shù)），
設(shè)點P（

1

2

cosθ，

3

2

sinθ），則點P到直線l的距離d=

| 3 2 cosθ- 3 2 sinθ- 3 |

2

=

3

4

[

2

sin（θ-

π

4

）+2]，
故當(dāng)sin（θ-

π

4

）=-1時，d取得最小值為

6

4

（

2

-1）．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題