Question

8．橢圓G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2c，若存在直線l：y=k（x+c）與橢圓的交點(diǎn)為M，使以F₁F₂為直徑的圓經(jīng)過M點(diǎn)，則該橢圓的離心率e的取值范圍為[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 設(shè)M（m，n），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），以F₁F₂為直徑的圓經(jīng)過M點(diǎn)，即有MF₁⊥MF₂，由向量垂直的條件和點(diǎn)滿足橢圓方程，解得m，n再由c²-b²≥0，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)M（m，n），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
以F₁F₂為直徑的圓經(jīng)過M點(diǎn)，
即有MF₁⊥MF₂，
即$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，
由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-c-m，-n），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（c-m，-n），
則（-c-m）（c-m）+n²=0，
即m²+n²=c²，
又$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
解得m²=$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-^{2}）}{{c}^{2}}$，n²=$\frac{^{2}（{a}^{2}-{c}^{2}）}{{c}^{2}}$
由a＞b＞0，a²-b²=c²可得a＞c．
由題意可得m²≥0，即有c²-b²≥0，
即2c²≥a²，即有e²$≥\frac{1}{2}$，
則e≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又0＜e＜1，
即有$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．
故答案為：[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的范圍，同時(shí)考查圓的性質(zhì)：直徑所對(duì)的圓周角為直角，屬于中檔題．