Question

20．已知函數(shù)$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…-\frac{{{x^{2014}}}}{2014}+\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$，若函數(shù)f（x）的零點都在[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，則b-a的最小值是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 首先可判斷f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2015}$＜0；再判斷f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，從而說明沒有零點，從而解得．

解答 解：∵$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…-\frac{{{x^{2014}}}}{2014}+\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$，
∴f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2015}$＜0；
故$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…-\frac{{{x^{2014}}}}{2014}+\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$在[-1，0]上有零點；
f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴，
易知f′（1）=1，
當(dāng)x＞0且x≠1時，
f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴=$\frac{1（1-（-x）^{2015}）}{1-（-x）}$=$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$＞0，
故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（0）＞0；
故f（x）在（0，+∞）上沒有零點，
當(dāng)x＜-1時，
f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴=$\frac{1（1-（-x）^{2015}）}{1-（-x）}$=$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$＞0，
故f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，且f（-1）＜0，
故f（x）在（-∞，-1）上沒有零點；
綜上所述，函數(shù)的零點都在區(qū)間[-1，0]上，
故選A．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點的判斷，屬于基礎(chǔ)題．