Question

19．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）上的動點P到兩個焦點的距離之和為6，且到右焦點距離的最小值為$3-2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l和橢圓C交于M、N兩點，A為橢圓的右頂點，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=0$，求△AMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知求解橢圓的幾何量，即可求解橢圓C的方程．
（2）設(shè)l_AM：y=k（x-3），推出l_AN：$y=-\frac{1}{k}（x-3）$，通過聯(lián)立方程組，求解|AM|、|AN|求出面積的表達式，利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）由已知得：2a=6∴a=3$a-c=3-2\sqrt{2}$，$c=2\sqrt{2}$，b=1
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$…（4分）
（2）設(shè)l_AM：y=k（x-3）不失一般性，設(shè)k＞0
∵$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=0$，則  l_AN：$y=-\frac{1}{k}（x-3）$
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{{x^2}+9{y^2}=9}\end{array}}\right.⇒（9{k^2}+1）{x^2}-54{k^2}x+81{k^2}-9=0$
∵點A（3，0）在AM上，設(shè)M（x₁，y₁）
∴$3{x_1}=\frac{{81{k^2}-9}}{{9{k^2}+1}}$∴${x_1}=\frac{{27{k^2}-3}}{{9{k^2}+1}}$…（6分）
∴$|AM|=\sqrt{1+{k^2}}|3-{x_1}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{6}{{9{k^2}+1}}$
用$-\frac{1}{k}$替換k得：$|AN|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}•\frac{6}{{\frac{9}{k^2}+1}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{6k}{{{k^2}+9}}$…（8分）
∴$S=\frac{1}{2}|AM|•|AN|$=$\frac{1}{2}（1+{k^2}）•\frac{36k}{{（{k^2}+9）（9{k^2}+1）}}$=$\frac{{18k（1+{k^2}）}}{{9{k^4}+82{k^2}+9}}=\frac{{18k（1+{k^2}）}}{{9{{（{k^2}+1）}^2}+64{k^2}}}$…（10分）
=$\frac{18}{{\frac{{9（{k^2}+1）}}{k}+\frac{64k}{{{k^2}+1}}}}≤\frac{18}{{2\sqrt{9×64}}}=\frac{3}{8}$
當(dāng)且僅當(dāng)64k²=9（k²+1）²，即：$k=\frac{{4+\sqrt{7}}}{3}$成立．
∴${S_{max}}=\frac{3}{8}$．…（13分）
注：用其他方法求解，可酌情給分．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．