Question

2．已知函數(shù)f（x）=-x²+ax+3，x∈[-2，2]．
（1）當a=6時，求f（x）的最大值；
（2）a∈R，設f（x）的最大值為g（a），求g（a）的值域．

Answer 1

分析 （1）當a=6時f（x）=-（x-3）²+12，x∈[-2，2]．由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得；
（2）配方可得f（x）=-（x-$\frac{a}{2}$）²+3+$\frac{{a}^{2}}{4}$，分類討論可得解析式，可得值域．

解答 解：（1）當a=6時f（x）=-x²+6x+3
=-（x-3）²+12，x∈[-2，2]．
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在x∈[-2，2]單調(diào)遞增，
∴當x=2時，函數(shù)取最大值11；
（2）配方可得f（x）=-x²+ax+3=-（x-$\frac{a}{2}$）²+3+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
當對稱軸x=$\frac{a}{2}$≤-2即a≤-4時，g（a）=f（-2）=-1-2a，此時g（a）≥7；
當對稱軸x=$\frac{a}{2}$≥2即a≥4時，g（a）=f（2）=-1+2a，此時g（a）≥7；
當-2＜$\frac{a}{2}$＜2即-4＜a＜4時，g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=3+$\frac{{a}^{2}}{4}$，此時3≤g（a）＜7．
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-1-2a，a≤-4}\\{3+\frac{{a}^{2}}{4}，-4＜a＜4}\\{-1+2a，a≥4}\end{array}\right.$，
∴g（a）的值域為[3，+∞）

點評 本題考查二次函數(shù)區(qū)間的最值，涉及分類討論的思想和分段函數(shù)的值域，屬中檔題．