Question

12．關(guān)于x的方程lg（tx）=2lg（x+2）有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得$\left\{\begin{array}{l}{tx＞0}\\{x+2＞0}\\{tx=（x+2）^{2}}\end{array}\right.$，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-2}\\{{x}^{2}+（4-t）x+4=0}\end{array}\right.$有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，分類討論方程的解的情況即可．

解答 解：∵lg（tx）=2lg（x+2），
∴l(xiāng)g（tx）=lg（x+2）²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{tx＞0}\\{x+2＞0}\\{tx=（x+2）^{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-2}\\{{x}^{2}+（4-t）x+4=0}\end{array}\right.$有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
①若方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則
$\left\{\begin{array}{l}{△=（4-t）^{2}-16=0}\\{-\frac{4-t}{2}＞-2}\end{array}\right.$，解得，t=8；
②若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合①知，
一個(gè)大于-2，另一個(gè)小于-2；
故f（-2）＜0，
解得，t＜0；
綜上所述，t=8或t＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用．