已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
⑴證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并寫出通項(xiàng)公式;
⑵若對(duì)恒成立,求的最小值;
⑶若成等差數(shù)列,求正整數(shù)的值.
(1)證明見解析,;(2)3;(3)
解析試題分析:(1)要證數(shù)列是等比數(shù)列,可根據(jù)題設(shè)求出,當(dāng)然也可再求,雖然得出的成等比數(shù)列,但前面有限項(xiàng)成等比不能說明所有項(xiàng)都成等比,必須嚴(yán)格證明.一般方法是把已知式中的用代換得到,兩式相減得,這個(gè)式子中把用代換又得,兩式再相減,正好得出數(shù)列的前后項(xiàng)關(guān)系的遞推關(guān)系,正是等比數(shù)列的表現(xiàn).(2)由題間,對(duì)不等式用分離參數(shù)法得,求的最小值就與求的最大值(也只要能是取值范圍)聯(lián)系起來了.(3)只能由成等差數(shù)列列出唯一的等式,這個(gè)等式是關(guān)于的二元方程,它屬于不定方程,有無數(shù)解,只是由于都是正整數(shù),利用正整數(shù)的性質(zhì)可得出具體的解.
試題解析:(1)當(dāng)n=1時(shí),;當(dāng)n=2時(shí),
當(dāng)n3時(shí),有 得:
化簡(jiǎn)得: 3分
又 ∴
∴是1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列
6分
(2)
∴ ∴ 11分
(3)若三項(xiàng)成等差,則有
,右邊為大于2的奇數(shù),左邊為偶數(shù)或1,不成立
∴ 16分
考點(diǎn):(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)不等式恒成立與函數(shù)的最值;(3)不定方程的正整數(shù)解問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a2=6,a5=12,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Sn,且Sn+bn=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.
(3)記cn=,{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,若Tn<對(duì)一切n∈N*都成立,求最小正整數(shù)m.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等比數(shù)列的公比為,是的前項(xiàng)和.
(1)若,,求的值;
(2)若,,有無最值?并說明理由;
(3)設(shè),若首項(xiàng)和都是正整數(shù),滿足不等式:,且對(duì)于任意正整數(shù)有成立,問:這樣的數(shù)列有幾個(gè)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為,其中為正實(shí)數(shù).
(1)用表示;
(2),若,試證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和,記數(shù)列的前項(xiàng)和,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)已成為當(dāng)代潮流.某大學(xué)大三學(xué)生夏某今年一月初向銀行貸款兩萬元作開店資金,全部用作批發(fā)某種商品.銀行貸款的年利率為6%,約定一年后一次還清貸款.已知夏某每月月底獲得的利潤(rùn)是該月月初投人資金的15%,每月月底需要交納個(gè)人所得稅為該月所獲利潤(rùn)的20%,當(dāng)月房租等其他開支1500元,余款作為資金全部投入批發(fā)該商品再經(jīng)營(yíng),如此繼續(xù),假定每月月底該商品能全部賣出.
(1)設(shè)夏某第n個(gè)月月底余元,第n+l個(gè)月月底余元,寫出a1的值并建立與的遞推關(guān)系;
(2)預(yù)計(jì)年底夏某還清銀行貸款后的純收入.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列中,;是與的等比中項(xiàng).
(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式:
(II)若.求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等比數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)連同與按原順序組成一個(gè)公差為()的等差數(shù)列.
①設(shè),求數(shù)列的前和;
②在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)(其中成等差數(shù)列)成等比數(shù)列?若存在,求出這樣的三項(xiàng);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等比數(shù)列中,,,等差數(shù)列中,,且.
⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
⑵求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
給定數(shù)列.對(duì),該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為,后項(xiàng)的最小值記為,.
(Ⅰ)設(shè)數(shù)列為,,,,寫出,,的值;
(Ⅱ)設(shè)是公比大于的等比數(shù)列,且.證明:是等比數(shù)列.
(Ⅲ)設(shè)是公差大于的等差數(shù)列,且,證明:是等差數(shù)列.
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