【題目】已知圓C:(x+1)2+y2=20,點B(l,0).點A是圓C上的動點,線段AB的垂直平分線與線段AC交于點P.
(1)求動點P的軌跡C1的方程;
(2)設 ,N為拋物線C2:y=x2上的一動點,過點N作拋物線C2的切線交曲線Cl于P,Q兩點,求△MPQ面積的最大值.

【答案】
(1)解:由已知可得,

點P滿足

∴動點P的軌跡C1是一個橢圓,其中 ,2c=2

∴動點P的軌跡C1的方程為


(2)解:設N(t,t2),則PQ的方程為:y﹣t2=2t(x﹣t),

整理,得y=2tx﹣t2,

聯(lián)立方程組 ,消去y整理得:(4+20t2)x2﹣20t3x+5t4﹣20=0,

,

點M到PQ的高為

代入化簡得:

;

當且僅當t2=10時,SMPQ可取最大值

當直線的斜率不存在時,x=t,SMPQ=

∴SMPQ最大值


【解析】(1)由已知可得動點P的軌跡C1是一個橢圓,其中 ,2c=2,由此能求出動點P的軌跡C1的方程.(2)設N(t,t2),則PQ的方程為y=2tx﹣t2 , 聯(lián)立方程組 ,得:(4+20t2)x2﹣20t3x+5t4﹣20=0,由此利用根的判別式、韋達定理、點到直線距離公式、弦長公式,結合已知條件能求出三角形面積的最大值.

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(已知, ).

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