【題目】已知函數(shù)(常數(shù)).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
(2)討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
【答案】(1);(2)答案見(jiàn)解析.
【解析】
(1)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率,再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果;
(2)先求函數(shù)最小值,再根據(jù)最小值分類(lèi)討論,結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),,
∴,
∴.
又∵,
∴曲線在處的切線方程為.
(2)∵,
∴.
∵,,
∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
∴在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).
∴.
討論函數(shù)的零點(diǎn)情況如下:
①當(dāng),即時(shí),函數(shù)無(wú)零點(diǎn),在上也無(wú)零點(diǎn).
②當(dāng),即時(shí),函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn),
而,
∴在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).
③當(dāng),即時(shí),
由于,,
,
當(dāng),即時(shí),,.
由單調(diào)性可知,函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn),在內(nèi)有唯一零點(diǎn),則在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng),即時(shí),,而且,,
由單調(diào)性可知在內(nèi)有唯一的一個(gè)零點(diǎn),在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),
所以在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn);
當(dāng)或時(shí),函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)數(shù)是簡(jiǎn)化繁雜運(yùn)算的產(chǎn)物.16世紀(jì)時(shí),為了簡(jiǎn)化數(shù)值計(jì)算,數(shù)學(xué)家希望將乘除法歸結(jié)為簡(jiǎn)單的加減法.當(dāng)時(shí)已經(jīng)有數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)這在某些情況下是可以實(shí)現(xiàn)的.
比如,利用以下2的次冪的對(duì)應(yīng)表可以方便地算出的值.
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 | 2048 | 4096 |
首先,在第二行找到16與256;然后找出它們?cè)诘谝恍袑?duì)應(yīng)的數(shù),即4與8,并求它們的和,即12;最后在第一行中找到12,讀出其對(duì)應(yīng)的第二行中的數(shù)4096,這就是的值.
用類(lèi)似的方法可以算出的值,首先,在第二行找到4096與128;然后找出它們?cè)诘谝恍袑?duì)應(yīng)的數(shù),即12與7,并求它們的______;最后在第一行中找到______,讀出其對(duì)應(yīng)的第二行中的數(shù)______,這就是值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),,.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè)函數(shù),若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】端午節(jié)是我國(guó)民間為紀(jì)念?lèi)?ài)國(guó)詩(shī)人屈原的一個(gè)傳統(tǒng)節(jié)日.某市為了解端午節(jié)期間粽子的銷(xiāo)售情況,隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查了該市1000名消費(fèi)者在去年端午節(jié)期間的粽子購(gòu)買(mǎi)量(單位:克),所得數(shù)據(jù)如下表所示:
購(gòu)買(mǎi)量 | |||||
人數(shù) | 100 | 300 | 400 | 150 | 50 |
將煩率視為概率
(1)試求消費(fèi)者粽子購(gòu)買(mǎi)量不低于300克的概率;
(2)若該市有100萬(wàn)名消費(fèi)者,請(qǐng)估計(jì)該市今年在端午節(jié)期間應(yīng)準(zhǔn)備多少千克棕子才能滿足市場(chǎng)需求(以各區(qū)間中點(diǎn)值作為該區(qū)間的購(gòu)買(mǎi)量).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得成立,則稱為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),設(shè)函數(shù)(, 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí), .若存在,且為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)均在軸上的兩橢圓,的離心率相同且均為,橢圓過(guò)點(diǎn)且其上頂點(diǎn)恰為橢圓的上焦點(diǎn).是橢圓上異于,的任意一點(diǎn),直線與橢圓交于,兩點(diǎn),直線與橢圓交于,兩點(diǎn).
(1)求橢圓,的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)證明:.
(3)是否為定值?若為定值.則求出該定值;否則,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),則下列判斷中是真命題的有( ).
①,;②是偶函數(shù);③對(duì)于任意一個(gè)非零有理數(shù),,;④存在三個(gè)點(diǎn),,,使得為等邊三角形.
A.①②③B.①②③④C.①③④D.②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,隨機(jī)抽查了天空氣中的和濃度(單位:),得下表:
(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中濃度不超過(guò),且濃度不超過(guò)”的概率;
(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表:
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)?
附:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在第一象限運(yùn)動(dòng),第一秒鐘內(nèi)它由原點(diǎn)移動(dòng)到,而后它接著按圖所示在與軸、軸平行的方向運(yùn)動(dòng),且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度,那么2018秒后,這個(gè)質(zhì)點(diǎn)所處的位置的坐標(biāo)是________.
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