【題目】在平面四邊形中（圖1），為的中點，，且，現(xiàn)將此平面四邊形沿折起，使得二面角為直二面角，得到一個多面體，為平面內一點，且為正方形（圖2），分別為的中點．

（1）求證：平面//平面；

（2）在線段上是否存在一點，使得平面與平面所成二面角的余弦值為？若存在，求出線段的長，若不存在，請說明理由．

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理，證明平面//平面.

（2）建立空間直角坐標系，設出點坐標，利用平面與平面所成二面角的余弦值為列方程，解方程求得的坐標，由此判斷符合題意的點存在，以及求得的長.

（1）由于分別為的中點，所以由線面平行的判定定理可得//平面.可得//平面，而直線與直線相交，由面面平行的判定定理得平面//平面.

（2）因為二面角為直二面角，又，所以，由此建立如圖所示的空間直角坐標系.，，，則，設平面的法向量為，則，取得.

設，則，設平面的法向量為，則，取得.由平面與平面所成二面角的余弦值為得，解得，所以，.所以存在點，使得平面與平面所成二面角的余弦值為，且

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】設數(shù)列的前n項和為,對一切,點都在函數(shù)的圖像上.

（1）證明：當時,;

（2）求數(shù)列的通項公式;

（3）設為數(shù)列的前n項的積,若不等式對一切成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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【題目】已知橢圓，為橢圓的左、右焦點，點在直線上且不在軸上，直線與橢圓的交點分別為和，為坐標原點.

設直線的斜率為，證明：

問直線上是否存在點，使得直線的斜率滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由.

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【題目】已知函數(shù).

（1）當a=2，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

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【題目】已知點，點，分別為橢圓的左右頂點，直線交于點，是等腰直角三角形，且．

（1）求的方程；

（2）設過點的動直線與相交于，兩點，為坐標原點．當為直角時，求直線的斜率．

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【題目】為響應市政府提出的以新舊動能轉換為主題的發(fā)展戰(zhàn)略，某公司花費100萬元成本購買了1套新設備用于擴大生產(chǎn)，預計該設備每年收入100萬元，第一年該設備的各種消耗成本為8萬元，且從第二年開始每年比上一年消耗成本增加8萬元．

（1）求該設備使用x年的總利潤y（萬元）與使用年數(shù)x（x∈N*）的函數(shù)關系式（總利潤＝總收入﹣總成本）；

（2）這套設備使用多少年，可使年平均利潤最大？并求出年平均利潤的最大值．

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【題目】如圖所示，在幾何體中，是等邊三角形，平面，，且.

（I）試在線段上確定點的位置，使平面，并證明；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）求使方程存在兩個實數(shù)解時，的取值范圍；

（2）設，函數(shù)，.若對任意，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】在某區(qū)“創(chuàng)文明城區(qū)”（簡稱“創(chuàng)城”）活動中，教委對本區(qū)四所高中學校按各校人數(shù)分層抽樣，隨機抽查了100人，將調查情況進行整理后制成下表：

學校

抽查人數(shù)

50

15

10

25

“創(chuàng)城”活動中參與的人數(shù)

40

10

9

15

（注：參與率是指：一所學�！皠�(chuàng)城”活動中參與的人數(shù)與被抽查人數(shù)的比值）假設每名高中學生是否參與”創(chuàng)城”活動是相互獨立的.

（1）若該區(qū)共2000名高中學生，估計學校參與“創(chuàng)城”活動的人數(shù)；

（2）在隨機抽查的100名高中學生中，隨機抽取1名學生，求恰好該生沒有參與“創(chuàng)城”活動的概率；

（3）在上表中從兩校沒有參與“創(chuàng)城”活動的同學中隨機抽取2人，求恰好兩校各有1人沒有參與“創(chuàng)城”活動的概率是多少？

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