Question

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)，分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，是等腰直角三角形，且．

（1）求的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)為直角時(shí)，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意知，求得，再由，代入橢圓方程，解得，即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)l的方程為y=kx+2，與橢圓的方程聯(lián)立方程組，利用二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，求得，又由∠MON能為直角時(shí)，利用列出方程，即可求解.

（1）由題意知，a=2，B(2，0)，設(shè)Q（x0，y0），由，得，

代入橢圓方程，解得b2=1. ∴橢圓方程為.

（2）由題意可知，直線l的斜率存在，令l的方程為y=kx+2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

則整理得：(1+4k2)x2+16kx+12=0，

由直線l與E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則△＞0，

即(16k)2﹣4×12×(1+4k2)＞0，解得.

由韋達(dá)定理可知：.

當(dāng)∠MON能為直角時(shí)，，即，

則x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4

,解得k2=4，即.

綜上可知，直線l的斜率時(shí)，∠MON為直角．