Question

【題目】已知，．

⑴求的解析式；

⑵求時(shí)，的值域；

⑶設(shè)，若對(duì)任意的，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)（2）（3）

【解析】

試題(1)由題已知，求，可利用換元法，即：，，將條件中的，換為得：，求出

（2）由（1）得，可繼續(xù)換元，

得：，需對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，而化為熟悉的二次函數(shù)的

值域問(wèn)題解決.

（3）由恒成立，可轉(zhuǎn)化為在滿(mǎn)足，則需對(duì)的單調(diào)性進(jìn)行分析，由，采用換元法，得：

，由，借助函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，分別得出的取值范圍，取各種情況的并集，得出結(jié)果.

試題解析：⑴設(shè)，則，所以，

所以；

⑵設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，，的值域?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí)，

若，，的值域?yàn)?/span>

若，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

的值域?yàn)?/span>

綜上，當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?/span>；

⑶因?yàn)?/span>對(duì)任意總有

所以在滿(mǎn)足

設(shè)，則，

當(dāng)即時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增

所以，即，所以(舍)

當(dāng)時(shí)，，不符合題意

當(dāng)時(shí)， 若即時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增

所以，則

若即時(shí)在遞增，在遞減

所以，得

若即時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞減

所以，即，得

綜上所述：.