已知實數(shù)x滿足|x|≥2且x2+ax+b-2=0，則a2+b2的最小值為
 
．
考點：基本不等式
專題：計算題
分析：將x2+ax+b-2=0變形為xa+b+x2-2=0，即點（a，b）在直線xa+b+x2-2=0上，則a2+b2的表示點（a，b）與（0，0）的距離的平方；（0，0）到直線xa+b+x2-2=0距離的平方為為
(x2-2)2
1+x2
，a2+b2≥
(x2-2)2
1+x2
，|x|≥2，通過換元，利用基本不等式求出最小值．
解答： 解：由于x2+ax+b-2=0，
則xa+b+x2-2=0，
∴點（a，b）在直線xa+b+x2-2=0上，
則a2+b2的表示點（a，b）與（0，0）的距離的平方；
∴（0，0）到直線xa+b+x2-2=0距離的平方為為
(x2-2)2
1+x2
，
∴a2+b2≥
(x2-2)2
1+x2
，|x|≥2，
令t=1+x2≥5，
∴a2+b2≥
(t-3)2
t
=t+
9
t
-6，t≥5，
令y=t+
9
t
-6，t≥5，則y=t+
9
t
-6（t≥5）為增函數(shù)，
∴當t=5時有最小值5+
9
5
-6=
4
5
；
當且僅當x=±2取等號．
故a2+b2的最小值為
4
5
．
故答案為：
4
5
．
點評：本題考查利用幾何解決代數(shù)中最值問題；考查換元的數(shù)學方法及基本不等式求最值，是一道難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M={x|y=ln（x-2）+
3x-3
，x∈R}，N={x||x-1|-|4-x|＜a，x∈R}，若M∩N≠∅，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

a
=（1，x），
b
=（-1，x），若2
a
-
b
與
b
垂直，則|
a
|=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A（2，3），B（3，0），且
AC
=-2
CB
，則點C的坐標為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知變量x，y滿足約束條件
x+y≥1
y≤3
x-y≤1
，若z=kx+y的最大值為5，且k為負整數(shù)，則k=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某一物體在某種介質中作直線運動，已知t時刻，它的速度為v，位移為s，且它在該介質中所受到的阻力F與速度v的平方成正比，比例系數(shù)為k，若已知s=
1
2
t2，則該物體由位移s=0移動到位移s=a時克服阻力所作的功為
 
．（注：變力F做功W=∫
 
s2
s1
F（s）ds，結果用k，a表示）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若復數(shù)z1=a+2i，z2=2+i，且
z1
z2
為純虛數(shù)，求實數(shù)a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設Z1，Z2是復數(shù)，下列命題：
①若|Z1-Z2|=0，則
.
Z1
=
.
Z2

②若Z1=
.
Z2
，則
.
Z1
=Z2
③若|Z1|=|Z2|，則Z1
.
Z1
=Z2
.
Z2

④若|Z1|=|Z2|，則Z12=Z22
以上真命題序號
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx，則f（x）是（　�。�
A、奇函數(shù)
B、偶函數(shù)
C、非奇非偶函數(shù)
D、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案