Question

某一物體在某種介質(zhì)中作直線運(yùn)動(dòng)，已知t時(shí)刻，它的速度為v，位移為s，且它在該介質(zhì)中所受到的阻力F與速度v的平方成正比，比例系數(shù)為k，若已知s=

1

2

t²，則該物體由位移s=0移動(dòng)到位移s=a時(shí)克服阻力所作的功為

 

．（注：變力F做功W=∫

s2 s1

F（s）ds，結(jié)果用k，a表示）

Answer 1

考點(diǎn)：定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：將變力F用s表示出來(lái)，根據(jù)變力F做功的公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵在該介質(zhì)中所受到的阻力F與速度v的平方成正比，比例系數(shù)為k，
∴F=kv²，
∵t時(shí)刻，它的速度為v，位移為s，
∴s=

1

2

t²，
s′（t）=t，即v=s′（t）=t，
∴s=

1

2

t²=

1

2

v²，
即v²=2s，
即F=kv²=2ks，
則由W=∫

s2 s1

F（s）ds得W=∫

a 0

2ksds=ks²|

a 0

=ka²，
故答案為：ka²

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查積分的物理意義，要求熟練掌握積分的公式．