【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+e﹣x , 其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)證明:f(x)是R上的偶函數(shù);
(2)若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)已知正數(shù)a滿足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,試比較ea﹣1與ae﹣1的大小,并證明你的結(jié)論.
【答案】
(1)證明:∵f(x)=ex+e﹣x,
∴f(﹣x)=e﹣x+ex=f(x),即函數(shù):f(x)是R上的偶函數(shù)
(2)解:若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,
即m(ex+e﹣x﹣1)≤e﹣x﹣1,
∵x>0,
∴ex+e﹣x﹣1>0,
即m≤ 在(0,+∞)上恒成立,
設(shè)t=ex,(t>1),則m≤ 在(1,+∞)上恒成立,
∵ =﹣ =﹣ ,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)等號(hào)成立,
∴m
(3)解:令g(x)=ex+e﹣x﹣a(﹣x3+3x),
則g′(x)=ex﹣e﹣x+3a(x2﹣1),
當(dāng)x>1,g′(x)>0,即函數(shù)g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
故此時(shí)g(x)的最小值g(1)=e+ ﹣2a,
由于存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,
故e+ ﹣2a<0,
即a> (e+ ),
令h(x)=x﹣(e﹣1)lnx﹣1,
則h′(x)=1﹣ ,
由h′(x)=1﹣ =0,解得x=e﹣1,
當(dāng)0<x<e﹣1時(shí),h′(x)<0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,
當(dāng)x>e﹣1時(shí),h′(x)>0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,
∴h(x)在(0,+∞)上的最小值為h(e﹣1),
注意到h(1)=h(e)=0,
∴當(dāng)x∈(1,e﹣1)(0,e﹣1)時(shí),h(e﹣1)≤h(x)<h(1)=0,
當(dāng)x∈(e﹣1,e)(e﹣1,+∞)時(shí),h(x)<h(e)=0,
∴h(x)<0,對(duì)任意的x∈(1,e)成立.
①a∈( (e+ ),e)(1,e)時(shí),h(a)<0,即a﹣1<(e﹣1)lna,從而ea﹣1<ae﹣1,
②當(dāng)a=e時(shí),ae﹣1=ea﹣1,
③當(dāng)a∈(e,+∞)(e﹣1,+∞)時(shí),當(dāng)a>e﹣1時(shí),h(a)>h(e)=0,即a﹣1>(e﹣1)lna,從而ea﹣1>ae﹣1
【解析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明f(x)是R上的偶函數(shù);(2)利用參數(shù)分離法,將不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,進(jìn)行轉(zhuǎn)化求最值問(wèn)題即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(3)構(gòu)u造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,最值與單調(diào)性之間的關(guān)系,分別進(jìn)行討論即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,, 平面,Q是AD的中點(diǎn),M是棱PC上的點(diǎn),,,.
(1)求證:平面;
(2)若平面QMB與平面PDC所成的銳二面角的大小為,求的長(zhǎng).
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【題目】某人研究中學(xué)生的性別與成績(jī)、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量的關(guān)系,隨機(jī)抽查了52名中學(xué)生,得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4,則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是( )
表1
成績(jī) | 不及格 | 及格 | 總計(jì) |
男 | 6 | 14 | 20 |
女 | 10 | 22 | 32 |
總計(jì) | 16 | 36 | 52 |
表2
視力 | 好 | 差 | 總計(jì) |
男 | 4 | 16 | 20 |
女 | 12 | 20 | 32 |
總計(jì) | 16 | 36 | 52 |
表3
智商 | 偏高 | 正常 | 總計(jì) |
男 | 8 | 12 | 20 |
女 | 8 | 24 | 32 |
總計(jì) | 16 | 36 | 52 |
表4
閱讀量 | 豐富 | 不豐富 | 總計(jì) |
男 | 14 | 6 | 20 |
女 | 2 | 30 | 32 |
總計(jì) | 16 | 36 | 52 |
A.成績(jī)
B.視力
C.智商
D.閱讀量
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【題目】若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),其中,且,則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為 .
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【題目】已知函數(shù),
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f0(x)= (x>0),設(shè)fn(x)為fn﹣1(x)的導(dǎo)數(shù),n∈N* .
(1)求2f1( )+ f2( )的值;
(2)證明:對(duì)任意n∈N* , 等式|nfn﹣1( )+ fn( )|= 都成立.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形, 為側(cè)棱的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: ∥平面
(Ⅱ)若,,
求證:平面平面
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【題目】已知常數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=ln(1+ax)﹣ .
(1)討論f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 且f(x1)+f(x2)>0,求a的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1,記點(diǎn)M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)設(shè)斜率為k的直線l過(guò)定點(diǎn)P(﹣2,1),求直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍.
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