Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，若方程f（x）=x有兩個(gè)根x₁，x₂，并且|x₁-x₂|＞2，則方程f（f（x））=x的根的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． 不確定

Answer 1

分析 由f（f（x））=x化簡可得（f（x）-x）（f（x）+x+b+1）=0；從而轉(zhuǎn)化為方程f（x）-x=0與f（x）+x+b+1=0的根的個(gè)數(shù)的判斷，再討論是否有重根即可．

解答 解：∵f（f（x））=x，
∴f²（x）+bf（x）+c-x=0，
即f²（x）-x²+x²+bf（x）-bx+bx+c-x=0
即（f（x）-x）（f（x）+x）+b（f（x）-x）+x²+bx+c-x=0，
即（f（x）-x）（f（x）+x）+b（f（x）-x）+f（x）-x=0，
即（f（x）-x）（f（x）+x+b+1）=0；
f（x）-x=x²+（b-1）x+c=0的根即為x₁，x₂，
且|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（b-1）²-4c＞4，
則b²-2b-3-4c＞0，
f（x）+x+b+1=x²+（b+1）x+b+c+1=0，
其判別式△=（b+1）²-4（b+c+1）=b²-2b-3-4c＞0，
因此也有2個(gè)不等實(shí)根．
假設(shè)兩個(gè)方程有相同的根x，
則兩方程相減得等根為：2x+b+1=0，
即x=-$\frac{b+1}{2}$，
代入原方程得，
（-$\frac{b+1}{2}$）²-$\frac{b+1}{2}$（b-1）+c=0，
化簡可得，b²-2b-3-4c=0，
這與b²-2b-3-4c＞0相矛盾；
因此有四個(gè)不同的根；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，難點(diǎn)在于化簡（f（x））=x為（f（x）-x）（f（x）+x+b+1）=0的形式，同時(shí)注意討論方程是否存在重根，屬于難題．