Question

11．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)BA和CD相交于點(diǎn)P，$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{4}$，
$\frac{PD}{PC}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求$\frac{AD}{BC}$的值；
（Ⅱ）若BD為⊙O的直徑，且PA=1，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明△PAD與△PCB相似，即可求$\frac{AD}{BC}$的值；
（Ⅱ）求出PB，PC，利用勾股定理求BC的長(zhǎng)．

解答 解：（Ⅰ）由∠PAD=∠PCB，∠A=∠A，得△PAD與△PCB相似，
設(shè)PA=x，PD=y則有$\frac{x}{2y}=\frac{y}{4x}⇒y=\sqrt{2}x$，
所以$\frac{AD}{BC}=\frac{x}{2y}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$…（5分）
（Ⅱ）因?yàn)镻A=1，$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{4}$，所以PB=4，
因?yàn)镻A•PB=PD•PC，$\frac{PD}{PC}$=$\frac{1}{2}$，所以PC=2$\sqrt{2}$，
因?yàn)锽D為⊙O的直徑，所以∠C=90°，
所以BC=$\sqrt{16-8}$=2$\sqrt{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定，考查相交弦定理，考查相學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．