Question

11．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，則a₁+a₂+a₃+…+a_n的取值范圍為{8（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）|n∈N^*}．

Answer 1

分析 易得數(shù)列{a_n}以4為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公比，從極限角度考查最值即可．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則有$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}=\frac{{a}_{1}{q}^{4}}{{a}_{1}q}={q}^{3}$，
∵a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，∴${q}^{3}=\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}$，即$q=\frac{1}{2}$，
從而a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4，
∴數(shù)列{a_n}以4為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公比，
∴S_n=$\frac{4[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=$8[1-（\frac{1}{2}）^{n}]$，
故當(dāng)n=1時(shí)，S_n最小，為$8×（1-\frac{1}{2}）=4$，
當(dāng)n→+∞時(shí)，S_n→8，
故答案為：{8（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）|n∈N^*}．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的簡單性質(zhì)，考查極限思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．