【題目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D是AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AC⊥B1C;
(Ⅱ)求證:AC1∥平面B1CD

【答案】證明:(Ⅰ)在△ABC中,因?yàn)锳B=5,AC=4,BC=3,
所以AC⊥BC.
因?yàn)橹比庵鵄BC﹣A1B1C1 , 所以,CC1⊥AC.
因?yàn)锽C∩AC=C,所以AC⊥平面BB1C1C.
所以AC⊥B1C.
(Ⅱ)連接BC1 , 交B1C于E.
因?yàn)橹比庵鵄BC﹣A1B1C1 ,
所以側(cè)面BB1C1C為矩形,且E為B1C中點(diǎn).
又D是AB中點(diǎn),所以DE為△ABC1的中位線,所以DE∥AC1
因?yàn)镈E平面B1CD,AC1平面B1CD,
所以,AC1∥平面B1CD.

【解析】(Ⅰ) 利用勾股定理可得AC⊥BC,由直三棱柱的性質(zhì)可得CC1⊥AC,從而得到AC⊥平面BB1C1C,進(jìn)而得到AC⊥B1C.
(Ⅱ) 取B1C中點(diǎn)E,得到 DE為△ABC1的中位線,得到DE∥AC1 , 由線面平行的判定定理證得AC1∥平面B1CD.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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⑤若直線斜率之積等于,則點(diǎn)的軌跡是橢圓(除長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)).

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