Question

定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=

x2-x，x∈[0，1) -(0.5)|x-1.5|，x∈[1，2)

，若x∈[-4，-2]時(shí)，f（x）≥

t

4

-

1

2t

恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令-4≤x＜-2，則0≤x+4＜2，由f（x+2）=2f（x），求出f（x）=

1

4

f（x+4），畫出y=f（x）和y=

1

4

f（x+4）的圖象，求出最小值，將x∈[-4，-2]，f（x）≥

t

4

-

1

2t

恒成立，轉(zhuǎn)化為x∈[-4，-2]，f（x）_min≥

t

4

-

1

2t

，解出不等式-

1

4

≥

t

4

-

1

2t

即可．

解答： 解：令-4≤x＜-2，則0≤x+4＜2，
∵f（x+2）=2f（x），
∴f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），
即f（x）=

1

4

f（x+4），
畫出y=f（x）和y=

1

4

f（x+4）的圖象，
當(dāng)x=1.5時(shí)，f（x）取最小值-1，
故當(dāng)x=-2.5時(shí)，f（x）取最小值-

1

4

，
由x∈[-4，-2]，f（x）≥

t

4

-

1

2t

恒成立，
則-

1

4

≥

t

4

-

1

2t

即

t2+t-2

4t

≤0，解得t≤-2或0＜t≤1．
故答案為：（-∞，-2]∪（0，1]．

點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用，考查函數(shù)的最值及運(yùn)用，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值，考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．