Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上，△PF₁F₂內(nèi)切圓的圓心為Q，圓Q與x軸相切于點(diǎn)A，過(guò)F₂作直線PQ的垂線，垂足為B，則|OA|與|OB|的長(zhǎng)度依次為（　　）

• A、a，a
• B、a，

  a2+b2

• C、

  a

  2

  ，

  3a

  2

• D、

  a

  2

  ，a

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用切線長(zhǎng)定理，結(jié)合雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=2a，轉(zhuǎn)化為|AF₁|-|AF₂|=2a，從而求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)．再在三角形PCF₂中，由題意得，它是一個(gè)等腰三角形，從而在△F₁CF₂中，利用中位線定理得出OB，從而解決問(wèn)題．

解答： 解：根據(jù)題意得F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓分別與PF₁，PF₂切于點(diǎn)A₁，B₁，與F₁F₂切于點(diǎn)A，
則|PA₁|=|PB₁|，|F₁A₁|=|F₁A|，
|F₂B₁|=|F₂A|，
又點(diǎn)P在雙曲線右支上，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|F₁A|-|F₂A|=2a，
而|F₁A|+|F₂A|=2c，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），
則由|F₁A|-|F₂A|=2a，
得（x+c）-（c-x）=2a，
解得x=a，
∵|OA|=a，∴在△F₁CF₂中，
OB=

1

2

CF₁=

1

2

（PF₁-PC）
=

1

2

（PF₁-PF₂）=

1

2

×2a=a，
∴|OA|與|OB|的長(zhǎng)度依次為a，a．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩條線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握雙曲線簡(jiǎn)單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．