【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形.PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于點(diǎn)F,F(xiàn)E∥CD,交PD于點(diǎn)E.

(1)證明:CF⊥平面ADF;
(2)求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.

【答案】
(1)解:∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,

又CD⊥AD,PD∩CD=D,∴AD⊥平面PCD,

∴AD⊥PC,又AF⊥PC,

∴PC⊥平面ADF,即CF⊥平面ADF


(2)解:設(shè)AB=1,在RT△PDC中,CD=1,∠DPC=30°,

∴PC=2,PD= ,由(1)知CF⊥DF,

∴DF= ,AF= = ,

∴CF= = ,又FE∥CD,

,∴DE= ,同理可得EF= CD= ,

如圖所示,以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,1),E( ,0,0),F(xiàn)( , ,0),P( ,0,0),C(0,1,0)

設(shè)向量 =(x,y,z)為平面AEF的法向量,則有 , ,

,令x=4可得z= ,∴ =(4,0, ),

由(1)知平面ADF的一個(gè)法向量為 =( ,1,0),

設(shè)二面角D﹣AF﹣E的平面角為θ,可知θ為銳角,

cosθ=|cos< , >|= = =

∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值為:


【解析】(1)結(jié)合已知又直線和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF,即得所求;(2)由已知數(shù)據(jù)求出必要的線段的長(zhǎng)度,建立空間直角坐標(biāo)系,由向量法計(jì)算即可.
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.
B.
C.
D.

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A. B. C. D.

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A. B. C. D.

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A.34
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D.89

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