Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xe^kx（k≠0）．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）因?yàn)閒'（x）=（1+kx）e^kx，f'（0）=1，f（0）=1．
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=x．…．（4分）
（2）由f'（x）=（1+kx）e^kx=0得1+kx=0，即x=-

1

k

，k≠0．…．（5分）
①若k＞0，則當(dāng)x＜-

1

k

時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)x＞-

1

k

時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．…．（7分）
②若k＜0，則當(dāng)x＜-

1

k

時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)x＞-

1

k

時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．…..（9分）
所以當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為（-∞，-

1

k

），增區(qū)間為（-

1

k

，+∞）．
當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，-

1

k

），減區(qū)間為（-

1

k

，+∞）．
（3）由（II）知，若k＞0，則當(dāng)且僅當(dāng)-

1

k

≤-1，即k≤1，f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增；…（11分）
若k＜0，則當(dāng)且僅當(dāng)-

1

k

≥1，即k≥-1．
綜上可知，f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，k的取值范圍是[-1，0）∪（0，1]．