Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)的值滿足，對任意實數(shù)x、y都有

，且f（－1）＝1，f（27）＝9，當0<x<1時，.

（1）求的值，判斷的奇偶性并證明；

（2）判斷在（0，＋∞）上的單調(diào)性，并給出證明；

（3）若且，求a的取值范圍。

 

Answer 1

（1），為偶函數(shù)；

（2）f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，證明詳見解析；

（3）

【解析】

試題分析：（1）通過對條件的觀察，發(fā)現(xiàn)可對、適當賦值便可求出及判斷的奇偶性；（2）設(shè)，∵，,從而，進而求出函數(shù)的單調(diào)性；（3）由題意得，結(jié)合，得到，從而得到答案.

試題解析：【解析】
（1）令，可得 2分

令y＝－1，則，∵，∴，故為偶函數(shù). 5分

（2）f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)。 6分

證明：設(shè)，∴，由題設(shè)知，且，

∵

又∵

∴f（x1）＜f（x2），

故f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù). 9分

（3）∵f（27）＝9，而

∴，∴，

∵，∴，

∵，∴，∴，即，

∴ 14分

考點：函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用.