Question

【題目】設(shè)x，y，z為非零實(shí)數(shù)，滿足xy+yz+zx=1，證明：.

Answer 1

【答案】不等式的證明一般可以考慮運(yùn)用作差法或者是利用分析法來(lái)證明。

【解析】

試題為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個(gè)為0；據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，則；

、當(dāng)時(shí)，條件式成為，，，而

，

只要證，，即，也即，此為顯然；取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)．

、再證，對(duì)所有滿足的非負(fù)實(shí)數(shù)，皆有

．顯然，三數(shù)中至多有一個(gè)為0，據(jù)對(duì)稱性，

仍設(shè)，則，令，為銳角，以為內(nèi)角，構(gòu)作，則 ，于是，且由知，；于是，即是一個(gè)非鈍角三角形．

下面采用調(diào)整法，對(duì)于任一個(gè)以為最大角的非鈍角三角形，固定最大角，將調(diào)整為以為頂角的等腰，其中，且設(shè)，記，據(jù)知，

．今證明，．即

……①．

即要證……②

先證……③，即證，

即，此即，也即

，即，此為顯然．

由于在中，，則；而在中，

，因此②式成為

……④，

只要證，……⑤，即證，注意③式以及

，只要證，即，也即…⑥

由于最大角滿足：，而，則，所以

，故⑥成立，因此⑤得證，由③及⑤得④成立，從而①成立，即，因此本題得證．