(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
f(
x)=
x2(
x-3
a)+1
(
a>0,
x∈R).
(I)求函數(shù)
y=
f(
x)的極值;
(II)函數(shù)
y=
f(
x)在(0,2)上單調(diào)
遞減,求實(shí)數(shù)
a的取值范圍;
(III)若在區(qū)間(0,+∞)上存在實(shí)數(shù)
x0,使得不等式
f(
x0)-4
a3≤0能成立,求實(shí)數(shù)
a的取值范圍.
(I)當(dāng)
a>0時(shí),在
x=0處,函數(shù)
f(
x)有極大值
f(0)=1;在
x=2
a處,函數(shù)
f(
x)有極小值
f(2
a)=-4
a3+1 .
(II)
a≥1
(III)
a≥
.
解:
f'(
x)=3
x(
x-2
a),令
f'(
x)=0,得
x=0或
x=2
a .
f(0)=1,
f(2
a)=-4
a3+1 .
(I)當(dāng)
a>0時(shí),2
a>0,當(dāng)
x變化時(shí),
f'(
x),
f(
x)的變化情況如下
表:
x
| (-∞,0)
| 0
| (0,2a)
| 2a
| (2a,+∞)
|
f'(x)
| +
| 0
| -
| 0
| +
|
f(x)
| ↗
| 1
| ↘
| -4a3+1
| ↗
|
∴ 當(dāng)
a>0時(shí),在
x=0處,函數(shù)
f(
x)有極大值
f(0)=1;在
x=2
a處,函數(shù)
f(
x)有極小值
f(2
a)=-4
a3+1 .
(II)在(0,2)上單調(diào)遞減,∴ 2
a≥2,即
a≥1 .
(III)依題意得 4
a3≥
f(
x)
min4
a3≥-4
a3+1
8
a3≥1
a≥
.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
,(1)求
的單調(diào)區(qū)間;(2)若
,求
在區(qū)間
上的最值;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分12分)已知函數(shù)
圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為
,函數(shù)
。
(1)若函數(shù)
在
處有極值,求
的解析式;
(2)若函數(shù)
在區(qū)間[-1,1]上為增函數(shù),且
在
時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
的圖象在
處的切線與
軸平行.
(1)求
與
的關(guān)系式及
f(
x)的極大值;
(2)若函數(shù)
在區(qū)間
上有最大值為
,試求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)
,若
,則函數(shù)的值域?yàn)?u>
▲ .
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)
在
x =2處取得極值,若
,則
的最小值為 ( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
。
(1)
求函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值和最小值
;
(2)求證:在區(qū)間
上函數(shù)
的圖像在函數(shù)
的圖像下方。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
若函數(shù)
在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值,則
的取值范圍是
。
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