Question

設函數f（x）=x^-1e^x的定義域為（0，+∞）．
（1）求函數f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）設函數，如果x₁≠x₂，且g（x₁）=g（x₂），證明：x₁+x₂＞2．

Answer 1

解：（1），則x＞1時，f′（x）＞0；0＜x＜1時，f′（x）＜0．
所以，函數f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數．（2分）
當m≥1時，函數f（x）在[m，m+1]上是增函數，
此時；
當0＜m＜1時，函數f（x）在[m，1]上是減函數，在[1，m+1]上是增函數，
此時f（x）_min=f（1）=e；（6分）
（2）證明：
考察函數g（x）=xe^-x，g′（x）=（1-x）e^-x
所以g（x）在（-∞，1）內是增函數，在（1，+∞）內是減函數．（結論1）
考察函數F（x）=g（x）-g（2-x），即F（x）=xe^-x+（x-2）e^x-2
于是F'（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x
當x＞1時，2x-2＞0，從而e^2x-2-1＞0，又e^-x＞0，所以F′（x）＞0，從而函數F（x）在[1，+∞）是增函數．
又F（1）=e^-1-e^-1=0，所以x＞1時，有F（x）＞F（1）=0，即g（x）＞g（2-x）．（結論2）（9分）
若（x₁-1）（x₂-1）=0，由結論1及g（x₁）=g（x₂），得x₁=x₂=1，與x₁≠x₂矛盾；
若（x₁-1）（x₂-1）＞0，由結論1及g（x₁）=g（x₂），得x₁=x₂，與x₁≠x₂矛盾；（11分）
若（x₁-1）（x₂-1）＜0，不妨設x₁＜1，x₂＞1
由結論2可知，g（x₂）＞g（2-x₂），所以g（x₁）=g（x₂）＞g（2-x₂）．
因為x₂＞1，所以2-x₂＜1，又由結論1可知函數g（x）在區(qū)間（-∞，1）內是增函數，
所以x₁＞2-x₂，即x₁+x₂＞2．（15分）
分析：（1）先求其導函數，找到其增減區(qū)間即可求函數f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）先求出函數g（x）的增減區(qū)間，再利用題中要證的結論構造新函數F（x）=g（x）-g（2-x），求出新函數F（x）=g（x）-g（2-x）的增減區(qū)間，把二者相結合即可證明結論．
點評：本題的第一問主要考查利用導函數求函數在閉區(qū)間上的最值問題，比較基礎，第二問就比較難，適合中上等學生來做．