【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）若，求直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)與軸垂直的直線為，的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求證：直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上．

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）直接求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線方程，得其與軸交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)，則，求出直線和的方程，從而求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，證明此交點(diǎn)在橢圓上，即此點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程．代入驗(yàn)證即可．注意分和說明．

解：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合，

（1）由題知，，則．因?yàn)?/span>，所以，

則直線的方程為，聯(lián)立，可得

故．則，直線的方程為．令，

得，故直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

（2）證明：因?yàn)?/span>，，所以．設(shè)點(diǎn)，則．

設(shè)

當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)直線與軸垂直，

其直線方程為，

直線的方程為，即．

在方程中，令，得，得交點(diǎn)為，顯然在橢圓上．

同理當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)也在橢圓上．

當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線的方程為，即．

直線的方程為，聯(lián)立方程，

消去得，化簡(jiǎn)并解得．

將代入中，化簡(jiǎn)得．

所以兩直線的交點(diǎn)為．

因?yàn)?/span>

，

又因?yàn)?/span>，所以，

則，

所以點(diǎn)在橢圓上．

綜上所述，直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示,A,B分別是橢圓C:=1(a>b>0)的左右頂點(diǎn),F為其右焦點(diǎn),2是|AF|與|FB|的等差中項(xiàng),是|AF|與|FB|的等比中項(xiàng).點(diǎn)P是橢圓C上異于A,B的任一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A作直線l⊥x軸.以線段AF為直徑的圓交直線AP于點(diǎn)A,M,連接FM交直線l于點(diǎn)Q.

(1)求橢圓C的方程;

(2)試問在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N,使得直線PQ必過該定點(diǎn)N?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓上，，橢圓的離心率.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）A，B是橢圓C上與點(diǎn)P不重合的任意兩點(diǎn)，若的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，試證明：的面積為定值，并求出該定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“六藝”源于中國(guó)周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”．某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開展了“六藝”知識(shí)講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知．

（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值，并求的單調(diào)區(qū)間：

（2）時(shí)，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】半正多面體(semiregular solid)亦稱“阿基米德多面體”，如圖所示，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體，它們的邊長(zhǎng)都相等，其中八個(gè)為正三角形，六個(gè)為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.若二十四等邊體的棱長(zhǎng)為，則該二十四等邊體外接球的表面積為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】求下列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）焦點(diǎn)在軸上，離心率，且經(jīng)過點(diǎn)；

（2）以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，并且過點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且在處切線垂直于軸．

（1）求的值；

（2）求函數(shù)在上的最小值；

（3）若恒成立，求滿足條件的整數(shù)的最大值．

（參考數(shù)據(jù)，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出下列敘述：

①正四面體的棱長(zhǎng)為，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是；

②在等比數(shù)列中前項(xiàng)和為，前項(xiàng)和為，則前項(xiàng)和為；

③直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為；

④若，，且，則的最小值為；

其中所有正確敘述的序號(hào)是_____________．

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