Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x（x?R）
（Ⅰ）求證：當(dāng)x≥0時，f(x)≥2x+

x3

3

；
（Ⅱ）試討論函數(shù)H（x）=f（x）-ax（x∈R）的零點個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：壓軸題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題（Ⅰ）要通過研究導(dǎo)函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)性；再通過研究導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；再通過研究導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負，得到導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到不等關(guān)系．本題（Ⅱ）要通過分類討論，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，研究函數(shù)零點的個數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）令g(x)=f(x)-2x-

x3

3

，(x≥0)
則g'（x）=f'（x）-2-x²=e^x+e^-x-2-x²，g''（x）=f（x）-2x，
∵g'''（x）=f'（x）-2=e^x+e^-x-2
當(dāng)x≥0時，e^x＞0，e^-x＞0，∴ex+e-x≥2

ex•e-x

=2
∴g'''（x）≥0，∴函數(shù)y=g''（x）（x≥0）為增函數(shù)，
∴g''（x）≥g''（0）=0，即f（x）-2x≥0
∴函數(shù)y=g'（x）（x≥0）為增函數(shù)，
∴g'（x）≥g'（0）=0，即e^x+e^-x≥2+x²
∴函數(shù)y=g（x）（x≥0）為增函數(shù)，
∴g（x）≥g（0）=0，即當(dāng)x≥0時，f(x)≥2x+

x3

3

成立；
（Ⅱ）（1）當(dāng)a≤2時，∵H（x）=f（x）-ax
∴H′(x)=f′(x)-a=ex+e-x-a≥2

ex•e-x

-a=2-a≥0
∴函數(shù)y=H（x）（x∈R）為增函數(shù)，
當(dāng)x＞0時，H（x）＞H（0）=0，當(dāng)x＜0時，H（x）＜H（0）=0，
∴當(dāng)a≤2時，函數(shù)y=H（x）的零點為x=0，其零點個數(shù)為1個
（2）當(dāng)a＞2時，∵對?x∈R，H（-x）=-H（x）
∴函數(shù)y=H（x）為奇函數(shù)，且H（0）=0
下面討論函數(shù)y=H（x）在x＞0時的零點個數(shù)：
由（Ⅰ）知，當(dāng)x₀＞0時，ex0+e-x0＞2，令a=ex0+e-x0
∴H(x)=f(x)-(ex0+e-x0)x (x＞0)
則H′(x)=f′(x)-(ex0+e-x0)，H''（x）=f''（x）=e^x-e^-x
當(dāng)x＞0時，e^x＞1，0＜e^-x＜1，∴e^x-e^-x＞0，∴H''（x）＞0
∴函數(shù)y=H'（x）（x＞0）為增函數(shù)
∴當(dāng)0＜x≤x₀時，H'（x）≤H'（x₀）=0；當(dāng)x＞x₀時，H'（x）≥H'（x₀）=0
∴函數(shù)y=H（x）（x＞0）的減區(qū)間為（0，x₀]，增區(qū)間為（x₀，+∞）
∴當(dāng)0＜x＜x₀時，H（x）＜H（0）=0
即對?x₀∈（0，x₀]時，H（x）＜0
又由（Ⅰ）知，H(x)=f(x)-(ex0+e-x0)x≥2x+

x3

3

-(ex0+e-x0)x=x[

x2

3

-(ex0+e-x0-2)]
當(dāng)x₀＞0時，由③知ex0+e-x0＞2+

x

2 0

＞

x 2 0

3

+2，
∴

3(ex0+e-x0-2)

＞x0
故，當(dāng)x＞

3(ex0+e-x0-2)

＞0時，

x2

3

-(ex0+e-x0-2)＞0
∴x[

x2

3

-(ex0+e-x0-2)]＞0，即H（x）＞0
由函數(shù)y=H（x）（x≥x₀）為增函數(shù)和⑥⑦及函數(shù)零點定理知，存在唯一實數(shù)x*∈(x0，

3(ex0+e-x0-2)

]使得H（x^*）=0，又函數(shù)y=H（x），x∈R為奇函數(shù)
∴函數(shù)y=H（x），x∈R，有且僅有三個零點．

點評：本題（Ⅰ）通過三階導(dǎo)數(shù)的研究，逐步通過導(dǎo)函數(shù)的正負得到函數(shù)的值的大小，邏輯思維能力要求較高；（Ⅱ）通過分類討論后，再分別用單調(diào)性和奇偶性研究零點，對學(xué)生計算能力和表達能力要求高．