Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PB=BC=CA=4，∠BCA=90°，E為PC中點(diǎn)．
（1）求證：BE⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AB-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出PB⊥AC，AC⊥平面PBC，從而得到AC⊥BE，再由BE⊥PC，能證明BE⊥面PAC．
（2）幾何法：取BC中點(diǎn)F，過(guò)F作FM⊥AB，連結(jié)FM，由已知條件推導(dǎo)出∠EMF為二面角E-AB-C的平面角，由此能求出二面角E-AB-C的余弦值．
向量法：以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，利用向量法能求出二面角E-AB-C的余弦值．

解答： （1）證明：∵PB⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴PB⊥AC，
∵BC⊥AC，PB?PBC，BC?面PBC，PB∩BC=B，
∴AC⊥平面PBC，
又∵BE?平面PBC，∴AC⊥BE，
∵PB=BC，E為PC中點(diǎn)，
∴BE⊥PC，
∵AC?平面PAC，PC?平面PAC，PC∩AC=C，
∴BE⊥面PAC．
（2）解：方法一：取BC中點(diǎn)F，過(guò)F作FM⊥AB，連結(jié)FM，
過(guò)E作EF⊥BC，F(xiàn)為垂足．由已知得EF⊥面ABC，
過(guò)F作FM⊥AB，M為垂足，連接EM，
∴EF∥PB，由（1）知EF⊥平面ABC，
∵AB?平面ABC，∴EF⊥AB，
∵FM⊥AB，∴AB⊥平面EFM，
∵EM?平面EFM，∴EM⊥AB，
∴∠EMF為二面角E-AB-C的平面角，
在Rt△EFM中，EF=

1

2

PB=2，
FM=FBsin∠B=

2

，
∴EM=

EF2+FM2

=

6

，
cos∠EMF=

FM

EM

=

3

3

，
∴二面角E-AB-C的余弦值為

3

3

．
方法二：以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，
由題設(shè)知：B（0，0，0），C（4，0，0），A（4，4，0），
P（0，0，4），E（2，0，2），
∴

BA

=(4，4，0)，

BE

=(2，0，2)，
平面ABC法向量為

n

=(0，0，1)，…（10分）
設(shè)平面ABE法向量為

m

=(x，y，z)．
則

BA

•

m

=0，

BE

•

m

=0，
∴

4x+4y=0 2x+2z=0

．
令z=1，得x=-1，y=1，．即

m

=(-1，1，1)，
設(shè)二面角E-AB-C為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1

1× 3

|=

3

3

．
故二面角E-AB-C的余弦值為

3

3

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．