Question

在區(qū)間[0，4]內(nèi)隨機取兩個實數(shù)a，b，則使得方程x²+ax+b²=0有實根的概率是（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  3

• C、

  1

  6

• D、

  5

  6

Answer 1

考點：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：根據(jù)題意，以a為橫坐標、b為縱坐標建立如圖所示直角坐標系，得到所有的點在如圖的正方形OABC及其內(nèi)部任意取，由一元二次方程根與系數(shù)的關系，算出函數(shù)f（x）=x²+ax+b²有零點時滿足a≥2b，滿足條件的點（a，b）在正方形內(nèi)部且在直線a-2b=0的下方的直角三角形，因此用所得直角三角形面積除以正方形的兩種，即可得到所求的概率．

解答： 解：∵兩個數(shù)a、b在區(qū)間[0，4]內(nèi)隨地機取，
∴以a為橫坐標、b為縱坐標建立如圖所示直角坐標系，
可得對應的點（a，b）在如圖的正方形OABC及其內(nèi)部任意取，
其中A（0，4），B（4，4），C（4，0），O為坐標原點
若函數(shù)f（x）=x²+ax+b²有零點，則
△=a²-4b²≥0，解之得a≥2b，滿足條件的點（a，b）在直線a-2b=0的下方，
且在正方形OABC內(nèi)部的三角形，其面積為S₁=

1

2

×4×2=4
∵正方形OABC的面積為S=4×4=16
∴函數(shù)f（x）=x²+ax+b²有零點的概率為P=

S1

S

=

4

16

=

1

4

故選：A

點評：本題給出a、b滿足的關系式，求函數(shù)f（x）=x²+ax+b²有零點的概率，著重考查了面積計算公式、一元二次方程根的判別式和幾何概型計算公式等知識，屬于基礎題．