【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)2﹣ .
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1 , x2 , 證明x1+x2>2.
【答案】解:(Ⅰ) ,
f'(x)=0x=1,當(dāng)x∈(﹣∞,1)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0.
所以函數(shù)f(x)在(﹣∞,1)上單調(diào)遞增
(Ⅱ)證明: ,f(0)=1,不妨設(shè)x1<x2,
又由(Ⅰ)可知0<x1<1,x2>1.2﹣x2<1,
又函數(shù)f(x)在(﹣∞,1)上單調(diào)遞減,
所以x1+x2>2x1>2﹣x2等價(jià)于f(x1)<f(2﹣x2),
即0=f(x1)<f(2﹣x2).
又 ,而 ,
所以
設(shè)g(x)=xe2﹣x﹣(2﹣x)ex,則g'(x)=(1﹣x)(e2﹣x﹣ex)
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)g'(x)>0,而g(1)=0,故當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0.
而 恒成立,
所以當(dāng)x>1時(shí), ,
故x1+x2>2.
【解析】(Ⅰ)利用導(dǎo)函數(shù)在指定區(qū)間上的正負(fù)得到其增減性。(Ⅱ)由(Ⅰ)的結(jié)論得到x1>2﹣x2 即得于f(x1)<f(2﹣x2)求出 f ( 2 x 2 )的表達(dá)式,構(gòu)造函數(shù)g(x)求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的最值,轉(zhuǎn)化求解即可。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了普及環(huán)保知識(shí),增強(qiáng)環(huán)保意識(shí),某校從理科甲班抽取60人,從文科乙班抽取50人參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試.
(Ⅰ)根據(jù)題目條件完成下面2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)成績(jī)優(yōu)秀與學(xué)生的文理分類有關(guān).
優(yōu)秀人數(shù) | 非優(yōu)秀人數(shù) | 總計(jì) | |
甲班 | |||
乙班 | 30 | ||
總計(jì) | 60 |
(Ⅱ)現(xiàn)已知A,B,C三人獲得優(yōu)秀的概率分別為 ,設(shè)隨機(jī)變量X表示A,B,C三人中獲得優(yōu)秀的人數(shù),求X的分布列及期望E(X).
附: ,n=a+b+c+d
P(K2>k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知方程.
(Ⅰ)若此方程表示圓,求的取值范圍;
(Ⅱ)若(Ⅰ)中的圓與直線相交于, 兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求以為直徑的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為奇函數(shù),為實(shí)常數(shù).
(1)求的值;
(2)證明:在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;
(3)若對(duì)于區(qū)間上的每一個(gè)的值,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, ,函數(shù).
(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值;
(2)若, ,求的值;
(3)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),求正數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元,每生產(chǎn)件,需另投入成本,當(dāng)年產(chǎn)量不足80件時(shí), (萬(wàn)元),當(dāng)年產(chǎn)量不少于80件時(shí)(萬(wàn)元),每件商品售價(jià)50萬(wàn)元,通過市場(chǎng)分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.
(1)寫出年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量(件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下圖是一幾何體的平面展開圖,其中四邊形為正方形, , , , 為全等的等邊三角形, 分別為的中點(diǎn).在此幾何體中,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的為( )
A. 直線與直線共面 B. 直線與直線是異面直線
C. 平面平面 D. 面與面的交線與平行
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=ax2﹣4bx+1.設(shè)集合P={1,2,3}和Q={﹣1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率
(1)已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=ax2﹣4bx+1.設(shè)集合P={1,2,3}和Q={﹣1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率;
(2)在區(qū)間[1,5]和[2,4]上分別取一個(gè)數(shù),記為a,b,求方程 + =1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于 的橢圓的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a,b∈R,c∈[0,2π),若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有2sin(3x﹣ )=asin(bx+c),則滿足條件的有序?qū)崝?shù)組(a,b,c)的組數(shù)為 .
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