Question

【題目】已知關于x的二次函數f（x）=ax2﹣4bx+1．設集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，求函數y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數的概率
（1）已知關于x的二次函數f（x）=ax2﹣4bx+1．設集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，求函數y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數的概率；
（2）在區(qū)間[1，5]和[2，4]上分別取一個數，記為a，b，求方程 + =1表示焦點在x軸上且離心率小于 的橢圓的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=ax2﹣4bx+1的圖象的對稱軸為直線x= ，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數，當且僅當a＞0且 ≤1，即2b≤a．若a=1，則b=﹣1；

若a=2，則b=﹣1或1；

若a=3，則b=﹣1或1．

∴事件包含基本事件的個數是1+2+2=5．

而滿足條件的數對（a，b）共有3×5=15個

∴所求事件的概率為 =

（2）解：方程 + =1表示焦點在x軸上且離心率小于 的橢圓，故

化簡得

又a∈[1，5]，b∈[2，4]，畫出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，

陰影部分的面積為 ，故所求的概率P=

【解析】(1)首先根據二次函數的解析式求得其對稱軸再根據函數在指定區(qū)間上的增減性得出a、b之間的大小關系然后結合a、b分別是集合P和Q中的一個數據列舉出滿足a、b大小關系的情況再求出a、b取值的所有基本事件的個數為15，最后根據概率公式計算即可得解。（2）根據題意如圖所示作出不等式組的平面區(qū)域由已知可得概率等于陰影面積比上矩形的面積即可。
【考點精析】關于本題考查的幾何概型，需要了解幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等才能得出正確答案．