Question

（2010•南京三模）如圖，正四棱錐P-ABCD中，AB=2，PA=

3

，AC、BD相交于點(diǎn)O
求：（1）直線BD與直線PC所成的角；
（2）平面PBC與平面PAC所成的角．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)條件得到OP⊥平面ABCD并求出OP=1；然后建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出

PC

，

BD

的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算其數(shù)量積即可得到結(jié)論．
（2）先求出兩個(gè)平面的法向量，再代入向量的夾角計(jì)算公式即可得到答案．

解答：解：（1）因?yàn)樗睦忮FP-ABCD為正四棱錐，
0為AC，BD交點(diǎn)，所以O(shè)P⊥平面ABCD．
因?yàn)锳B=2，所以O(shè)A=

2

，
因?yàn)镻A=

3

．
所以O(shè)P²=PA²-OA²=3-2=1，
所以O(shè)P=1．
如圖以O(shè)為原點(diǎn)，AC，BD所在直線分別為X軸，Y軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（

2

，0，0），B（0，

2

，0），C（-

2

，0，0），D（0，-

2

，0），P（0，0，1），
則

PC

=（-

2

，0，-1），

BD

=（0，-2

2

，0）．
因?yàn)?span id="qm2sqay" class="MathJye">

PC

•

BD

=0．
所以直線BD與直線PC所成的角：90°．
（2）由（1）得BD⊥PC，又BD⊥AC，PC?平面PAC，AC?平面PAC，PC∩AC=C，
所以BD⊥平面PAC，取平面PAC的一個(gè)法向量為

BD

=（0，-2

2

，0）．
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），

BC

=（-

2

，-

2

，0）．
由

n • PC =0 n • BC =0

得

- 2 x-z=0 - 2 x- 2 y=0

，
不妨取

n

=（1，-1，-

2

），則cos＜

n

，

BD

＞=

BD • n

| BD |•| n |

=

1

2

，
可得向量

BD

與

n

的夾角為60°．
所以平面PBC與平面PAC所成的角為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察用空間向量求平面間的夾角．用空間向量求平面間的夾角的關(guān)鍵問(wèn)題在于兩個(gè)平面的法向量不能求錯(cuò)．