Question

已知點(diǎn)A（0，2）和圓C：（x-6）²+（y-4）²=

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5

，一條光線從A點(diǎn)出發(fā)射到x軸上后沿圓的切線方向反射，求：
（1）這條光線從A點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程．
（2）求入射光線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）先求A的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)反射線斜率，利用相切求出斜率，可得方程，這條光線從A點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程．可以求對(duì)稱點(diǎn)到切點(diǎn)的距離即可．
（2）入射光線與反射光線斜率相反，縱截距相反，結(jié)合（1）中反射光線的方程，可得答案．

解答： 解：如圖所示，設(shè)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，則A′（0，-2）．
由光學(xué)性質(zhì)可知，A′在反射線上，可設(shè)反射線方程為y=kx-2．
因?yàn)榉瓷渚�與圓相切，所以

|6k-4-2|

k2+1

=

6

5

，
解得k₁=2，k₂=

1

2

，于是，反射線方程為2x-y-2=0與x-2y-4=0．
設(shè)切點(diǎn)為M，反射點(diǎn)為B，則|AB|+|BM|=|A′B|+|BM|=|A′M|=

|A′C|2-( 6 5 )2

=

18 5

5

（2）∵射光線與反射光線斜率相反，縱截距相反，
可得：k₃=-2，k₄=-

1

2

，b=2，
即入射光線的方程為y=-2x+2，y=-

1

2

x+2，
即2x+y-2=0或x+2y-4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)、直線對(duì)稱的圓的方程，是中檔題．