Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+a（a∈R）
①若f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線經(jīng)過點（0，2），則a=

 

；
②若對任意x₁∈[0，2]，都存在x₂∈[2，3]使得f（x₁）+f（x₂）≤2，則實數(shù)a的范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：①求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點，再由兩點斜率公式，即可得到a；
②運用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在[0，2]，在[2，3]的單調(diào)性，求出最值，由題意得，f（x₁）_max+f（x₂）_min≤2，
得到不等式，解出即可．

解答： 解：①函數(shù)f（x）=x³-3x²+a的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-6x，
在（1，f（1））處的切線斜率為3-6=-3，
切點（1，a-2），由兩點的斜率公式，得-3=

a-4

1

，
則a=1；
②導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-6x，
當(dāng)x∈[0，2]，f′（x）≤0，f（x）遞減，
當(dāng)x∈[2，3]，f′（x）≥0，f（x）遞增．
則f（x₁）的最大值為f（0）=a，
f（x₂）的最小值為f（2）=a-4，
則由題意得，f（x₁）_max+f（x₂）_min≤2，
即有a+a-4≤2，
解得，a≤3．
故答案為：1，a≤3

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，最值，考查恒成立和存在思想，注意轉(zhuǎn)化為求最值，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．