Question

求下列函數(shù)的解析式．
（1）已知f（1-x）=2x²-x+1，求f（x）；
（2）已知f（x-

1

x

）=x²+

1

x2

，求f（x）；
（3）已知一次函數(shù)f（x）滿足f（f（x））=4x-1，求f（x）；
（4）定義在（-1，1）內(nèi)的函數(shù)f（x）滿足2f（x）-f（-x）=lg（x+1），求f（x）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）、（2）對函數(shù)f（x）進(jìn)行配方即可求出函數(shù)f（x）的值域．
（3）設(shè)一次函數(shù)f（x）=ax+b，代入已知比較系數(shù)可得a和b的方程組，解方程組可得．
（4）因?yàn)?f（x）-f（-x）=lg（x+1），用-x代替x，得，2f（-x）-f（x）=lg（-x+1），兩式聯(lián)立消去f（-x），就可求出
f（x）．

解答： 解：（1）f（1-x）=2（1-x）²-3（1-x）+2，所以函數(shù)f（x）=2x²-3x+2；
（2）f（x-

1

x

）=x²+

1

x2

=（x-

1

x

）²+2，所以函數(shù)f（x）=x²+2；
（3）解：設(shè)一次函數(shù)f（x）=ax+b，
則f（f（x））=a（ax+b）+b
=a²x+ab+b=4x-1，
∴

a2=4 ab+b=-1

，解得

a=2 b=- 1 3

或

a=-2 b=1

，
∴f（x）=2x

1

3

，或f（x）=-2x+1；
（4）∵2f（x）-f（-x）=lg（x+1），①
∴2f（-x）-f（x）=lg（-x+1），②
①×2+②，得，3f（x）=2lg（x+1）+lg（1-x）
∴f（x）=

2

3

lg（x+1）+

1

3

lg（1-x）

點(diǎn)評：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，涉及配方法、方程組的解法，屬基礎(chǔ)題．