Question

【題目】已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是_________.

Answer 1

【答案】

【解析】

方程有四個不相等的實數(shù)根，即方程有四個不相等的實數(shù)根，則或有四個不相等的實數(shù)根，結(jié)合圖象利用分類討論與的根的情況，其中當時分別構(gòu)造函數(shù)與分析，最后由轉(zhuǎn)化思想將函數(shù)有兩個零點轉(zhuǎn)化為小于0構(gòu)造不等式求得答案.

方程有四個不相等的實數(shù)根，即方程有四個不相等的實數(shù)根，則或有四個不相等的實數(shù)根，

因為函數(shù)，

對方程的根分析，令，

由圖象分析可知，當時，必有一根，

當時，令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，故，所以當時，方程無根，

故方程只有1個根，那么方程應(yīng)有3個根，

對方程的根分析，令，

由圖象分析可知，當時，必有一根，

當時，方程應(yīng)有2兩個不等的實根，其等價于方程有2個不等的實根，

令，則，且其在內(nèi)有兩個零點，

顯然當，函數(shù)單調(diào)遞增，不滿足條件，則；

令，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間 單調(diào)遞增；

所以函數(shù)在取得極小值，同時也為最小值，，

函數(shù)若要有兩個零點，則，

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.

故答案為：