Question

已知t=（

1

2

）^x+（

2

3

）^x+（

5

6

）^x，當(dāng)（t-1）（t-2）（t-3）=0時(shí)，求所有實(shí)數(shù)解的和．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令f（x）=（

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）^x+（

2

3

）^x+（

5

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）^x，則f（0）=3，f（1）=2，f（3）=1，若（t-1）（t-2）（t-3）=0，則x=0，或x=1，或x=3，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：令f（x）=（

1

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）^x+（

2

3

）^x+（

5

6

）^x，
則f（x）是減函數(shù)，
因此對任意正實(shí)數(shù)t，f（x）=t恰有惟一解，
當(dāng)（t-1）（t-2）（t-3）=0時(shí)，
t=1，或t=2，或t=3，
又∵f（0）=3，f（1）=2，f（3）=1，
即方程（t-1）（t-2）（t-3）=0的所有解為0，1，3，
∴它們的和為4．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程的根，其中分析出f（x）=（

1

2

）^x+（

2

3

）^x+（

5

6

）^x的單調(diào)性，進(jìn)而求出f（0）=3，f（1）=2，f（3）=1，是解答的關(guān)鍵．