Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

6

3

，右焦點F到直線

x

a

+

y

b

=0的距離為1．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）已知點M，N為橢圓的長軸的兩個端點，作不平行于坐標軸的割線AB，若滿足∠AFM=∠BFN，求證：割線AB恒經(jīng)過一定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出

c

a

=

6

3

，

|bc|

a2+b2

=1，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)割線AB的方程為y=kx+b（k≠0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 6 + y2 2 =1 y=kx+b

，得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-6=0，由此利用韋達定理結(jié)合題設(shè)條件能證明割線AB恒過點（3，0）．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)F（c，0）
由e=

6

3

，得

c

a

=

6

3

，即c=

6

3

a…①
又右焦點到直線

x

a

+

y

b

=0的距離為1，
得

|bc|

a2+b2

=1…②
由①②及a²=b²+c²得a²=6，b²=2，
∴橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1…5分
（Ⅱ）證明：設(shè)割線AB的方程為y=kx+b（k≠0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 6 + y2 2 =1 y=kx+b

，得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-6=0，
∴x1+x2=-

6kb

1+3k2

，x1x2=

3b2-6

1+3k2

（*） …8分
∵∠AFM=∠BFN，∴k_AF+k_BF=0，
∴

y1

x1-2

+

y2

x2-1

=0，
∴x₁y₂+x₂y₁-2（y₁+y₂）=0，…10分
即x₁（kx₂+b）+x₂（kx₁+b）-2（kx₁+b+kx₂+b）=0，
2kx₁x₂+（b-2k）（x₁+x₂）-4b=0，
將（*）代入上式，2k•

3b2-6

1+3k2

+（b-2k）•

-6kb

1+3k2

-4b=0，
解得b=-3k，
∴割線AB方程為y=kx+b=kx-3k=k（x-3），
即割線AB恒過點（3，0）．…13分．

點評：本題綜合考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系、直線的斜率，考查運算能力和推理論證能力，較難題．