Question

某市質監(jiān)部門對市場上奶粉進行質量抽檢，現將9個進口品牌奶粉的樣品編號為1，2，3，4，…，9；6個國產品牌奶粉的樣品編號為10，11，12，…，15，按進口品牌及國產品牌分層進行分層抽樣，從其中抽取5個樣品進行首輪檢驗，用P（i，j）表示編號為i，j（1≤i＜j≤15）的樣品首輪同時被抽到的概率．
（Ⅰ）求P（1，15）的值；
（Ⅱ）求所有的P（i，j）（1≤i＜j≤15）的和．

Answer 1

考點：排列、組合及簡單計數問題,收集數據的方法,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）由分層抽樣的方法從洋奶粉樣品中抽取3個，國產奶粉樣品中抽取2個，計算出P（1，15）的值；
（Ⅱ）分情況求出1≤i＜j≤9，10≤i＜j≤15和1≤i≤9＜j≤15時，P（i，j）的個數是多少，從而求出它們的和．

解答： 解：（Ⅰ）由分層抽樣可知：
首輪檢驗從編號為1，2，3，…，9的洋品牌奶粉的樣品中抽取3個，
從編號為10，11，…，15的國產品牌奶粉的樣品中抽取2個，
∴P（1，15）=

C 2 8

C 3 9

•

C 1 5

C 2 6

=

1

9

；
（Ⅱ）①當1≤i＜j≤9時，P（i，j）=

C 1 7

C 3 9

=

1

12

，
而這樣的P（i，j）有

C

2 9

=36個；
②當10≤i＜j≤15時，P（i，j）=

1

C 2 6

=

1

15

，
而這樣的P（i，j）有

C

2 6

=15個；
③當1≤i≤9＜j≤15時，P（i，j）=

C 2 8

C 3 9

•

C 1 5

C 2 6

=

1

9

，
而這樣的P（i，j）有

C

1 9

•

C

1 6

=54個；
所以，所有的P（i，j）（1≤i＜j≤15）的和為

1

12

×36+

1

15

×15+

1

9

×54=10．

點評：本題考查了分層抽樣法的應用以及概率與數學期望的問題，解題的關鍵是理解題中P（i，j）的含義，以及（Ⅱ）中i、j的適當分情況計算問題，是易錯題．