Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極值－2.

（1）求函數(shù)f(x)的解析式；

（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；

（3）證明：對(duì)任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．

Answer 1

【答案】（1）f(x)＝x3－3x；（2）f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，＋∞)；遞減區(qū)間為(－1,1)．極大值為f(－1)＝2；（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（1）分析已知條件，函數(shù)為奇函數(shù)，即，可得，“當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極值－2”得，可解得；（2）由確定增區(qū)間，由得減區(qū)間，從而確定極值點(diǎn)；（3）要證題設(shè)命題，只要求出在上的最大值和最小值，證明最大值－最小值≤4即可，為此可由第（2）小題的結(jié)論很快求得．

試題解析：（1）∵f(x)是R上的奇函數(shù)，

∴f(－x)＝－f(x)，

即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝－d，

∴d＝0(或由f(0)＝0得d＝0)．

∴f(x)＝ax3＋cx，f ′(x)＝3ax2＋c，

又當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極值－2，

∴，即解得

∴f(x)＝x3－3x.

（2）f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f ′(x)＝0，得x＝±1，

當(dāng)－1<x<1時(shí)，f ′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x<－1或x>1時(shí)，f ′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，＋∞)；遞減區(qū)間為(－1,1)．

因此，f(x)在x＝－1處取得極大值，且極大值為f(－1)＝2.

（3）由(2)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞減，且f(x)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為M＝f(－1)＝2.最小值為m＝f(1)＝－2.∴對(duì)任意x1、x2∈(－1,1)，

|f(x1)－f(x2)|<M－m＝4成立．

即對(duì)任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．