Question

已知函數(shù)f（x）=-2sin²

ωx

2

+sin（ωx+

π

6

）-cos（ωx+

π

3

）（ω＞0，x∈R），且函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（B）=1，

BA

•

BC

=

2 3

3

，且a+c=4，試求b²的值．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理后化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)周期公式求出ω的值，即可確定出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）由第一問確定出的f（x）解析式，由f（B）=1，求出B的度數(shù)，再利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡

BA

•

BC

=

3 3

2

，求出ac的值，進而確定出a²+c²的值，利用余弦定理即可求出b²的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sinωx+cosωx-1=2sin（ωx+

π

6

）-1，
∵T=π，∴ω=2，
則f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1；
（Ⅱ）f（B）=2sin（2B+

π

6

）-1=1，即sin（2B+

π

6

）=1，
∴2B+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：B=kπ+

π

6

（k∈Z），
∵B為△ABC的內角，
∴B=

π

6

，
∵

BA

•

BC

=cacosB=

3 3

2

，
∴ac=3，
∵a+c=4，
∴a²+c²=（a+c）²-2ac=16-6=10，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=10-3

3

．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及三角函數(shù)的周期性及其運算，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．