Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)在處取得極值，對,恒成立，
求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)且時，試比較的大小．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)時在上沒有極值點，當(dāng)時，在上有一個極值點（Ⅱ）（Ⅲ）當(dāng)時，，當(dāng)時，.

解析試題分析：（Ⅰ）由已知得，
所以當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù) 在單調(diào)遞減，
∴在上沒有極值點；
當(dāng)時，由得，得，
∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．
∴當(dāng)時在上沒有極值點，
當(dāng)時，在上有一個極值點．                               ……3分
（Ⅱ）∵函數(shù)在處取得極值，∴，
∴，                                        ……5分
令，可得在上遞減，在上遞增，
∴，即．                                 ……7分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知在(0,e²)上單調(diào)減，
∴時，，
即.
當(dāng)時，，∴， ∴，
當(dāng)時，，∴, ∴.
……12分
考點：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷極值點的個數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等問題，考生學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力.
點評：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一個比較好的工具，給出函數(shù)可以利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為最值問題來解決，如果最值不好求，可以構(gòu)造新函數(shù)再次利用導(dǎo)數(shù)求解，一定要靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，使導(dǎo)數(shù)的功能完全發(fā)揮出來.