【題目】如圖，在四棱柱中，底面ABCD和側(cè)面都是矩形，E是CD的中點(diǎn)，，

.

（1）求證：；

（2）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長度.

【答案】（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問，由已知得，，所以利用線面平行的判定得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)，得；第二問，可以利用傳統(tǒng)幾何法求二面角的平面角，也可以利用向量法求平面和平面的法向量，利用夾角公式列出方程，通過解方程，求出線段的長度..

（1）證明：∵底面和側(cè)面是矩形，

∴，

又∵

∴平面 3分

∵平面∴ ． 6分

（2）

解法1：延長，交于，連結(jié)，

則平面平面

底面是矩形，是 的中點(diǎn)，，∴連結(jié)，則

又由（1）可知

又∵，

∴底面，∴∴平面 9

過作于，連結(jié)，則是平面與平面即平面與平面所成銳二面角的平面角，所以

又，∴

又易得，，從而由，求得． 12分

解法2：由（1）可知

又∵，∴底面 7分

設(shè)為的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖． 8分

設(shè)，則，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量

∵，

由，得

令，得 9分

設(shè)平面法向量為，因?yàn)?，，

由 得令，得． 10分

由平面與平面所成的銳二面角的大小為，

得 ，解得． 即線段的長度為． 12分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，則當(dāng)時(shí)，討論單調(diào)性；

（2）若，且當(dāng)時(shí)，不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對給定的正數(shù)，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域?yàn)?/span>，則稱區(qū)間為的級“理想?yún)^(qū)間”.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A. 函數(shù)（）存在1級“理想?yún)^(qū)間”

B. 函數(shù)（）不存在2級“理想?yún)^(qū)間”

C. 函數(shù)（）存在3級“理想?yún)^(qū)間”

D. 函數(shù)， 不存在4級“理想?yún)^(qū)間”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分，（1）小問7分，（2）小問5分）

設(shè)函數(shù)

（1）若在處取得極值，確定的值，并求此時(shí)曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若在上為減函數(shù)，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線的極坐標(biāo)方程為），圓的參數(shù)方程為： （其中為參數(shù)）.

（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；

（2）若橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過圓的圓心且與直線垂直的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖：在四棱錐中， 平面，底面是正方形， .

（1）求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；

（2）求點(diǎn)、分別是棱和的中點(diǎn)，求證： 平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿著同一條直線航行，某一時(shí)刻，甲船在最前面的點(diǎn)處，乙船在中間點(diǎn)處，丙船在最后面的點(diǎn)處，且.一架無人機(jī)在空中的點(diǎn)處對它們進(jìn)行數(shù)據(jù)測量，在同一時(shí)刻測得， .（船只與無人機(jī)的大小及其它因素忽略不計(jì)）

（1）求此時(shí)無人機(jī)到甲、丙兩船的距離之比；

（2）若此時(shí)甲、乙兩船相距100米，求無人機(jī)到丙船的距離.（精確到1米）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，矩形中， ， ，沿對角線把折起，使點(diǎn)在平面上的射影落在上．

（1）求證：平面平面；

（2）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（　　）
A.y=﹣x3
B.y=
C.y=x
D.y=

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