Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=3a_n-1+2（n≥2）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式,等比關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n+1=3（a_n-1+1），a₁+1=2，由此能證明數(shù)列{a_n+1}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列．
（2）由已知得a_n+1=2×3^n-1，從而求出a_n=2×3^n-1-1．
（3）S_n=2（3⁰+3+3²+…+3^n-1）-n，由此利用分布求法和能求出結果．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=3a_n-1+2（n≥2），
∴a_n+1=3（a_n-1+1），
又a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列．
（2）解：∵數(shù)列{a_n+1}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2×3^n-1，
∴a_n=2×3^n-1-1．
（3）解：S_n=2（3⁰+3+3²+…+3^n-1）-n
=2×

1-3n

1-3

-n
=3ⁿ-1-n．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要注意分組求和法的合理運用．